Giugno 2010

I quadrati magici tra matematica ed esoterismo

Quando si parla di “quadrato magico” si intende generalmente una struttura a forma di scacchiera con un numero variabile di caselle. Al loro interno vengono disposti dei numeri interi in modo da ottenere per ogni fila orizzontale, verticale e diagonale sempre la medesima somma. Tale numero viene chiamato costante magica o somma magica.

D. B. – Il Dovere, Lugano (Revista massonica svizzera giugno/luglio 2010)

Definizione

Il quadrato magico originale era un quadrato costituito dai primi nove numeri interi {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, distribuiti in modo tale che i numeri nelle tre righe, nelle tre colonne e nelle due diagonali, sommati, dessero come risultato 15. Per esempio il seguente quadrato risulta dotato di proprietà “magiche”. In effetti, come si vede, la sommadelle righe, delle colonne e delle diagonali dà sempre 15.

L’ordine del quadrato magico è dato dal numero di righe o colonne. Per esempio il quadrato appena riportato è di ordine 3 perché ha tre colonne. Un quadrato 4 x 4 viene chiamato quadrato magico di “ordine 4”, uno 5 x 5 di “ordine 5” e così via. In generale, un quadrato n x n (=n2) è noto sotto il nome di quadrato di “ordine n”. Uno dei modi più usati per trovare lacostante magica è il seguente: si prende l’ordine del quadrato magico, n, e si trova il valore di½(n(n2+1), dove il quadrato magico è formato dai numeri naturali 1, 2, 3…,n2. In effetti ½ (3(32+1))=15. Non è stato ancora trovato un metodo generale per costruire un quadrato magico di ordine pari di qualsiasi dimensione. Ci sono invece diversi metodi generali, sui quali non possiamo evidentemente soffermarci in questa sede, che si possono usare per costruire un quadrato magico di ordine dispari di qualsiasi dimensione.

Storia

Il primo quadrato magico di cui si abbia conoscenza è antichissimo; gli studiosi lo collocano nell’antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, due millenni prima dell’era cristiana. La leggenda racconta di un pescatore che un giorno lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, vide una tartaruga che lasciava intravedere sul guscio un sistema di segni particolare. Dopo aver portato la strana tartaruga dall’imperatore, i matematici al suo servizio si impegnarono a cercare di decifrare un eventuale codice di tale sistema di segni. Essi scoprirono che raffigurava una struttura geometrica, in particolare un quadrato di una serie di numeri che davano come somma costante di ogni riga, colonna e diagonale il numero 15. Questo strano quadrato dalle proprietà “magiche” venne chiamato Lo Shu e assunse un valore simbolico e sacro della Cina di quel periodo rinviando a leggi misteriose dell’essenza dell’universo e della matematica. Il più antico documento che fa stato di questa leggenda della tartaruga, senza peraltro menzionare il tema del quadrato magico, risale al VII secolo a.C. Dalla Cina sembra che i quadrati magici si sianopropagati in Indiaein Persiaapartire dal X secolo. In seguito giunsero in Europa non prima del XIV secolo. Come e grazie a quali personaggi i quadrati magici sono passati dalla Cina all’India, all’Islam e poi in Europa resta per il momento un mistero. Quello che si sa è che i quadrati magici originari dalla Cina erano di ordine 3. Infatti le prime tracce di quadrati di ordine 4 sono state ritrovate in India nel primo secolo d. C. e quelle di ordine otto sono state localizzate in Persia nel IX secolo d.C. e sono verosimilmente legate al gioco degli scacchi, apparso in India nell’VIII secolo. I quadrati magici approdarono in Europa relativamente tardi. Nel 1315 Emmanuel Moschopoulos, un filosofo greco di Costantinopoli, scrisse un trattato sui quadrati magici ispirandosi ai lavori di Al Bunimaliberandoli dalla loro sovrastruttura esoterica. Nel Rinascimento, Luca Pacioli (1445-1517), a partire dall’opera di Moschopoulos, costruì un numero di quadrati di diverso ordine epubblicò nel 1494 un libro di referenza in matematica (Somma de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità). L’interesse esoterico riprese vigore soprattutto con Marsilio Ficino (1493-1499) che sostenne che i quadrati magici discendevano da documenti cabalistici risalenti alla tarda antichità. La tradizione esoterica si è costantemente alimentata alle suggestioni emanate dai quadrati magici. In questo ambito c’è senz’altro da segnalare l’enigmatica incisione che il pittore Albrecht Dürer (1471-1528) creò dandole il titolo di ”Melancolia”.

Come si vede si tratta di un quadrato magico di ordine 4 che comprende i primi 16 numeri. La sua costante vale 34. Il quadrato ha numerose proprietà “magiche”. Oltre ad apparire in ogni riga, colonna e diagonale, la costante del quadrato magico appare anche:

nella somma delle cifre poste ai 4 angoli (16 + 13 + 4 + 1 = 34)
nella sommadelle quattrocifre al centro (10 + 11 + 6 + 7= 34)
nella somma delle cifre 15 e 14 nella fila in basso e delle cifre 3 e 2 a loro opposte nella fila in alto (15 + 14 + 3 + 2= 34)
nella somma delle cifre 12 e 8 nella colonna di desta e delle cifre 9 e 5 poste di fronte nella colonna di sinistra (12 + 8 + 9 + 5 = 34)
nella somma delle cifre di ognuno dei quattro quadrati negli angoli (16 + 3 + 5 +10 = 34; 2 + 3 + 11 + 8 = 34; 9 + 6 + 4 +15 = 34; 7 + 12 + 14 +1 = 34).

Spesso i quadrati magici si supponevano dotati di virtù soprannaturali perché rappresentavano la struttura nascosta del cosmo, le leggi che governano armonicamente l’universo e quindi in ultima analisi la ragione divina. Venivano incisi su piastre d’oro o d’argento ed erano consigliati come talismani capaci di preservare da malattie, povertà, problemi sentimentali…

Nel contesto della tradizione esoterica il piùcelebre ed enigmatico quadrato magico è senz’altro quello del “sator”. Esso è costituito dalla seguente struttura letterale:

Questo quadrato rivela immediatamente una struttura palindroma che consente di leggere in molte direzioni diverse la sequenza di cinque parole, di cinque lettere ciascuna: SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS. Il quadrato in questione è stato ritrovato in diversi testi antichi ed è raffigurato su antichi monumenti in molti luoghi europei. Sulla sua origine e sul suo significato sono state formulate svariate congetture. In un primo tempo il quadrato venne considerato un’invenzione medievale; tutte le fonti conosciute in effetti non erano anteriori al VI secolo. Nel 1868, tuttavia, venne ritrovato un graffito raffigurante il quadrato tra le rovine di Cirencester (l’antica Corinium), ed esso fu datato tra il II ed il IV secolo d. C. Una delle prime ipotesi avanzate fu quella che vedeva nel quadrato una croce nascosta, e più precisamente un sistema dei primi cristiani per rappresentare la croce in forma criptata. Infatti come osservò il pastore evangelista Felix Grosser nel 1926 le venticinque lettere del quadrato possono essere disposte in modo da formare le parole PATERNOSTER incrociate, fra unaAeduna O, corrispondenti alle lettere greche alfa e omega, cioè i simboli del principio e della fine di tutte le cose.

“Qualche difficoltà sorse per interpretare il significato della parola AREPO, che non esiste nella lingua latina. Lo studioso Giuseppe Aldo Rossi scoprì che nelle Gallie esisteva un’unità di misura di superficie che veniva chiamata semiiugerum o arepennis. Quest’ultima parola sembrava derivare dal nome del carro arepos, utilizzato nei lavori agricoli. Rossi ipotizzò allora che il celtico arepos diventasse per i latini arepus. A conferma di tale ipotesi venne ritrovata un’edizione della Bibbia greca del XIV secolo che, riportando una traduzione del quadrato magico, traduceva la parolaAREPO con laparolagreca arotron che significa carro. Utilizzando tale ipotesi le parole del quadrato vennero interpretate nel modo seguente: «Il Seminatore, col suo carro, tiene con cura le ruote». Altri autori hanno proposto diverse interpretazioni. Ad esempio, Ludwig Diehl, fornì la seguente traduzione: «Il seminatore possiede le opere», ovvero «Dio è il Signore del creato». In ogni caso vi fu un sostanziale accordo nel ritenere che il quadrato avesse un significato cristiano e che la sua origine fosse collocabile in Gallia e databile intorno al III secolo d.C.” (Fuso, 2006, p.180)

Tuttavia, nel 1925 e nel 1936, due esemplari del quadrato vennero ritrovati negli scavi archeologici di Pompei. Tale scoperta costituì verosimilmente una confutazione dell’ lnterpretazione che ipotizzava un’origine cristiana del quadrato. Anche in altre parti d’ Europa si trovano esemplari di questo quadrato. Per esempio “in Francia nella chiesa san Lorenzo di Rochemaure; in una vecchia abitazione di Le-Puy; nei castelli di Chinon, di Jarnac e di Gisors. In Spagna a san Giacomo di Compostela, in Ungheria in una villa romana di Acquincum, l’odierna Altofen” (Ibid.) Alla luce del fatto che alcune tra queste località furono possedimenti dei templari, diversi studiosi hanno supposto un legame fra il quadrato magico e il celebre ordine religioso-militare. Altri autori hanno inoltre formulato interpretazioni esoteriche, cabalistiche e astrologiche del quadrato magico. Davanti ad una serie di interpretazione pur coerenti ma incompatibili resta a tutt’oggi azzardato pronunciarsi con certezza sull’origine e sul significato del quadrato del “sator”.

Massoneria

Le suggestioni simboliche inerenti ai quadrati magici hanno fornito elementi da interpretare anche in chiave massonica. Oswald Wirth per esempio, nel suo Libro del maestro, facendo riferimento al seguente quadrato magico di saturno (cioè di ordine 3) assimila le cifre della prima colonna (8-3-4) alla colonna J del tempio, quelli della terza colonna alla colonna B, 1, 5 e 9 che si rapportano rispettivamente all’Apprendista, al Compagno e al Maestro piazzati tra le colonne. L’Apprendista deve prima di tutto distinguere 8 (ragione e rigore) da 6 (sentimento e bontà). Il Compagno deve distinguere 3 (concezione teorica e astratta) e 7 (esecuzione pratica e concreta). Il maestro 4 (positivismo matematico) e 2 (sottili capacità intuitive). In diagonale si oppongono anche 2 (lo sconosciuto e l’inesplorato) e 8 (logica, ordine, legge), 4 (volere positivo che ordina) e 6 (aspirazione sentimentale). L’iniziazione parte da 8 (ragionamento dell’Apprendista esercitato nei limiti del compasso) per approdare a 2 (veggenzadel maestroche sonda le profondità dell’infinito). Come sottolinea Jean-claude Michaud (cfr. capitolo IV) il quadrato magico è simile allo specchio della regina nella fiaba di Biancaneve: risponde alle questioni che gli si pone. Possiede un’architettura suscettibile di accogliere questioni di ordine metafisico, cosmologico, spirituale, esistenziale a dipendenza della particolare inclinazione dell’animo di chi lo interroga. I riflessi dello specchio, e quindi del quadrato, sono le risposte indirette alle nostre domande fondamentali svelate dalla nostra anima profonda. Lo specchio non può mentire se il soggetto che pone le domande è sincero con sé stesso. Come la superficie immobile dell’acqua limpida e pura il quadrato magico lascia anch’esso trasparire l’immagine oggettiva della realtà, in tal senso rappresenta sempre e in primo luogo una preziosa fonte di autentica verità.

Interessi matematici

Diversi matematici hanno lasciato un contributo significativo allo studio dei quadrati magici. Per quanto riguarda l’Asia, un matematico cinese del XIII secolo, Yang Hui formulò il primo algoritmo di costruzione dei quadrati magici di ordine 4. Sviluppi interessanti nello studio dei quadrati magici avvennero in Giappone all’inizio del periodo Edo (1603-1867). In particolare due matematici, Seki Takakazu (1642-1708) e Tanaka Yioshizane (1651-1719) costruirono dei quadrati concentrici di ordine 7,8,9 e 10 che stupiscono ancora oggi. In Europa, specialmente in Francia, i quadrati magici polarizzarono l’interesse di matematici e filosofi di primo ordine. Pierre de Fermat (1601-1665) costruì il primo cubo di ordine 4. Blaise Pascal (1623-1662) scrisse in seguito un trattato sui quadrati magici, il Traité des nombres magiquement magiques, che indirizzò all’Accademia delle scienze nel 1654. Tra gli intellettuali francesi del XVII secolo che si sono interessati ai quadrati magici non bisogna dimenticare il padre Marin Mersenne (1588- 1648), amico di Fermat, a cui dobbiamo differenti memorie sulla teoria dei numeri o Bernard Fénicle de Bessy (1605-1675), un corrispondente di Mersenne, che fu il primo a pubblicare una lista di 880 quadrati di ordine 4. Nel XVIII secolo il grande matematico Leonhard Euler (1707-1783) studiò i quadrati magici e ne schizzò la teoria in un’opera intitolata De Quadratis Magicis, apparso nel 1776. Anche Benjamin Franklin (1706-1790) si interessò ai quadrati magici e ne divenne un abile costruttore. L’interesse per i quadrati magici restò vivo anche nel XIX secolo. Numerosi sono i matematici che cercarono di mettere a punto un metodo per la loro costruzione. Ci provò anche il grande Friedrich Gauss (1777-1855), tuttavia, come detto, nessuno riuscì a scoprire un metodo di costruzione generale: gli algoritmi sono differenti a dipendenza dell’ordine pari o dispari dei quadrati. Con l’avvento dei calcolatori elettronici, nella seconda metà del XX secolo, e i recenti sviluppi dell’informatica la costruzione dei quadrati magici èdiventata piùsemplice ed ha permesso l’ideazione di altre strutture geometriche “magiche” come stelle, cerchi, cubi e ipercubi, cioè enti geometrici che sembrano persino aprire itinerari di ricerca inediti negli studi matematici.

Conclusioni

È piuttosto curioso, e anche paradossale, che i quadrati magici possano essere stati oggetto di interesse parallelo tra i cultori di scienze occulte o esoteriche e di alcuni tra i più grandi scienziati. In realtà la stessa rivoluzione scientifica del XVI e XVII secolo, come la recente e più aggiornata storiografia ha messo in rilievo con abbondanza di dati, manifesta una rilevante presenza della tradizione magica e di quella ermetica all’interno del processo che è la rivoluzione scientifica. In altri termini si può dire che la scienza moderna pubblica nei controlli, assoggettata ad un metodo rigoroso ed oggettivo, con le sue istituzioni e con il suo linguaggio univoco e chiaro è il risultato di un lungo processo in cui si intrecciano misticismo, ermetismo, magia, alchimia e astrologia. Quel Rinascimento che abitualmente viene presentato come l’età del rinnovamento delle arti e dell’emergenza del sapere scientifico è anche il tempo della magia per eccellenza. Un tempo che proietta la sua ombra persino sulla nostra epoca, in apparenza razionale e disincantata, ma che si interessa ancora a miracoli ed oroscopi, filtri d’amore e fatture più o meno maligne. Se può suscitare un certo stupore l’interesse convergente verso i quadrati magici dei cultori di discipline occulte e degli addetti alla scienza propriamente detta, ancora più stupefacente ci sembra l’interesse costante che questi poligoni, apparentemente di scarsa importanza e probabilmente inutili da un punto di vista economico e militare, hanno saputo esercitare di generazione in generazione passando indenni attraverso i secoli e scavalcando con una facilità sconcertante culture, popoli e lingue dell’intero pianeta. Tra le diverse proprietà “magiche” di questi quadrati annovererei quindi pure l’inossidabilità ai cambiamenti epocali di tempo, ma anche di spazio, che queste particolari griglie numeriche hanno saputo dimostrare .